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ELCONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
1) REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS EN
LA RECTA NUMÉRICA, COMPARACIÓN Y ORDEN
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
EN LA RECTA NUMÉRICA
A todo número entero
le corresponde un punto en la recta numérica entera, recíprocamente, a todo
punto de la recta numérica entera le corresponde un número entero
La recta numérica para los números enteros
COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
LEY DE TRICOTOMIA
Dados
dos números enteros a y b se cumple solamente una de las siguientes
afirmaciones:
a < b ; a > b ; a = b
Si
dos números se encuentran ubicados en la recta numérica, es mayor el número que
se encuentra a la derecha y es menor el número que se encuentra a la izquierda.
ORDEN DE LOS
NÚMEROS ENTEROS
Al ordenar
números enteros en forma ascendente o creciente se realiza del menor número al
mayor
Al ordenar números enteros en forma descendente o decreciente se
realiza del mayor número al menor
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N° 1
2) ADICIÓN Y
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS: (Vídeo)
AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA ADICIÓN DE
NÚMEROS ENTEROS
A)
AXIOMA
DE CLAUSURA
Al sumar dos
números enteros se obtiene como suma otro número entero
Si: a Î
Z y b Î Z ®
(a + b) Î Z
B)
AXIOMA
DE CONMUTATIVIDAD
Si cambiamos el
orden de los sumandos la suma no se altera
a + b = b + a
C)
AXIOMA
DE ASOCIATIVIDAD
Si asociamos los sumandos de diferente forma la suma no se altera
(a + b) + c = a + (b +
c)
D)
AXIOMA
DE ELEMENTO NEUTRO O IDENTIDAD ADITIVA
El elemento
neutro aditivo es el número “0”, es decir, si a cualquier número entero le
sumamos cero “0” la suma es el mismo número entero
a + 0 = 0 + a = a
E)
AXIOMA
DE INVERSO ADITIVO
Si a un número
entero le sumamos su inverso el resultado es cero.
a + (- a) = 0
REGLAS PARA LA ADICIÓN Y
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS:
REGLA Nro. 1
Si los números
tienen igual signo, se suman y el resultado lleva el signo de ambos
Ejemplo:
1) + 11 + 18 =
+ 29
2) – 5 – 8 = – 13
REGLA Nro. 2
Si los números
tienen signo diferente, se restan y el resultado lleva el signo del número
mayor
1) + 7 – 9 = – 2
2) – 4 + 10 = +
6
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N° 2
Escribe las partes o
elementos de las operaciones en las siguientes preguntas:
1) + 45 + 92 =
Sumandos:
……………………….
Suma: …………………………….
2) + 32 + 67 =
Sumandos:
……………………….
Suma: …………………………….
3) + 56 – 73 =
Sustraendo:
………………………….
Minuendo: ……………………………
Diferencia: …………………………...
4) + 28 – 53 =
Minuendo: ……………………………
Diferencia: …………………………...
Sustraendo: ………………………….
Resuelve:
5) + 47 + 83
6) + 94 – 65
7) – 32 – 45
8) – 234 + 98
Resuelve:
9) + 12 – 31 + 76 – 11 + 3 – 7
10) – 54 + 84 – 43 + 22 – 79
11) [-
(7 – 9) + ( - 4 + 5)] - (23 – 72)
12) [(- 7 + 9) + (3 – 1)] – [- 8 + 3 – (9 – 12)]
3) MULTIPLICACIÓN
DE NÚMEROS ENTEROS: (Vídeo)
LEY DE SIGNOS PARA
LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
A)
AXIOMA
DE CLAUSURA
Si multiplicamos dos
números enteros cualesquiera, el producto o resultado es otro número entero
Si:
a Î
Z y b Î Z ®
(a . b) Î Z
B)
AXIOMA
DE CONMUTATIVIDAD
Si cambiamos el orden de
los factores el producto es el mismo
a . b = b . a
C)
AXIOMA
DE ASOCIATIVIDAD
Si asociamos de modo
diferente los factores el producto es el mismo
a (b.c) + c = (a.b) c
D)
AXIOMA
DE ELEMENTO NEUTRO
El número uno “1” es el
elemento neutro multiplicativo, es decir si multiplicamos cualquier número entero
por uno “1”, el resultado o producto siempre es el mismo número entero
a . 1 = 1 . a = a
E)
TEOREMA
DE MONOTONIA
Si a ambos miembros de
una igualdad multiplicamos por un mismo número la igualdad se mantiene
Si:
a = b ® a . c = b . c
F)
TEOREMA
DEL ELEMENTO ABSORVENTE
Si multiplicamos un
número por cero “0” el resultado o producto siempre es cero “0”
a . 0 = 0 . a = 0
G)
AXIOMA
DE DISTRIBUTIVIDAD DE LA MULTIPLICACIÓN CON RESPECTO A LA ADICIÓN
a (b + c) = ab + ac
H)
AXIOMA
DE DISTRIBUTIVIDAD DE LA MULTIPLICACIÓN CON RESPECTO A LA SUSTRACCIÓN
a (b - c) = ab - ac
4) DIVISIÓN
DE NÚMEROS ENTEROS: (Vídeo)
En
una división exacta, para verificar si la operación que realizamos es
correcta se multiplica el cociente por el divisor y el resultado debe ser igual
al dividendo
En
una división inexacta, para verificar si la operación que realizamos
es correcta, multiplicamos el
cociente por el divisor y le sumamos el residuo, este resultado debe ser igual
al dividendo
Al
dividir números enteros, primero se operan los signos y luego los
números
LEY DE SIGNOS PARA LA DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N° 4
Completa la
tabla con la operación correspondiente, si la división es inexacta marca con
una “x”
5) OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN
Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Al resolver
operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación y división de
números enteros, primero se resuelve la división, luego la multiplicación, en
la adición y sustracción no existe orden.
Cuando hay varias divisiones sucesivas y
no existen signos de agrupación, las divisiones se resuelven en el orden en que
aparecen, es decir, de izquierda a derecha.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N° 5
Resuelve:
6) PROBLEMAS DE ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
DE NÚMEROS ENTEROS
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N° 6
Resuelve
los problemas aplicando el método de Polya:
1. Jesús
tenía 20 años cuando nació su hija Betty.
Actualmente Betty tiene 20 años.
¿Cuánto suman las edades actuales de Jesús y Betty?
2. La
suma de 3 números enteros consecutivos es 90.
Hallar el número intermedio.
3. Pepe
tiene 12 caramelos y Toto tiene 8 caramelos más que Pepe y Juan Carlos tiene 5
caramelos más que Toto. Hallar cuántos caramelos tienen entre los 3 juntos.
4. Si
al minuendo de una sustracción le sumamos 230 y al sustraendo le sumamos
90. ¿En cuánto varía la diferencia?
a) Aumenta 320 b) Disminuye
320 c) Aumenta 140 d) Disminuye 140
e) No aumenta ni disminuye
5. Jorge
compra un T.V. en S/. 700 y lo quiere vender ganando S/. 150. ¿En cuánto debe vender el T.V.?
6. Albert tiene 15 años y Luis tiene el triple de su
edad. ¿Cuánto suman sus edades?
7. Un padre de 44 años de edad tiene 3 hijos; uno de 16,
otro de 14 y el tercero de 12 años, se desea saber el número de años que ha
transcurrido desde que la edad del padre fue el doble de la suma de las edades
de sus hijos.
8. Un equipo de futbol ha ganado sus tres últimos
partidos por 4 goles de diferencia. Hace tres fechas su diferencia de goles era
– 13. ¿Cuánto es su actual diferencia de goles?
7) POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS: (Vídeo)
El exponente nos indica cuantas veces se multiplica la base
POTENCIAS
NOTABLES:
D) POTENCIA DE UN
COCIENTE:
E) POTENCIA
DE POTENCIA:
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N° 7
8) RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
A)
RAÍZ
DE UN PRODUCTO
B)
RAÍZ
DE UN COCIENTE
C)
RAÍZ
DE UNA POTENCIA
D)
RAÍZ
DE UNA RAÍZ
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N° 8
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